贝叶斯定理:

$$
P(b|a) = \frac{P(a|b)P(b)}{P(a)}
$$
证明：
$P(a \cap b) = P(a|b)P(b)$
$P(a \cap b) = P(b \cap a) = P(b|a)P(a)$
$P(a|b)P(b) = P(b|a)P(a)$
$P(b|a) = \frac{P(a|b)P(b)}{P(a)}$

Ex1:

一个袋子里有：5个均匀的硬币，10个不均匀的硬币(0.8 H, 0.2 T)
求：取6枚4枚是Head，都是去的均匀硬币的概率。即：P(Fair|4/6 Heads)
$P(Fair|4/6 Heads) = \frac{P(4/6 Heads|Fair)P(Fair)}{P(4/6 Heads)}$

Ex2:

一个班上有30个学生，至少2个同学生日是同一天的概率。
解：P(至少2个同学生日是同一天) = 1 - P(没有同学生日在同一天)
P(没有同学生日在同一天) = $\frac{A^{30}_{365}}{365^{30}}$