贝叶斯定理

贝叶斯定理:

$$
P(b|a) = \frac{P(a|b)P(b)}{P(a)}
$$
证明:
$P(a \cap b) = P(a|b)
P(b)$
$P(a \cap b) = P(b \cap a) = P(b|a)P(a)$
$P(a|b)
P(b) = P(b|a)P(a)$
$P(b|a) = \frac{P(a|b)
P(b)}{P(a)}$

Ex1:

一个袋子里有:5个均匀的硬币,10个不均匀的硬币(0.8 H, 0.2 T)
求:取6枚4枚是Head,都是去的均匀硬币的概率。即:P(Fair|4/6 Heads)
$P(Fair|4/6 Heads) = \frac{P(4/6 Heads|Fair)P(Fair)}{P(4/6 Heads)}$

Ex2:

一个班上有30个学生,至少2个同学生日是同一天的概率。
解:P(至少2个同学生日是同一天) = 1 - P(没有同学生日在同一天)
P(没有同学生日在同一天) = $\frac{A^{30}_{365}}{365^{30}}$

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